目录1 什么是杨辉三角2 基本结构与规律3 重要性质（必背）4 与二项式定理的关系5 典型例题（从基础到中考/高考难度）
1 什么是杨辉三角
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载。
它本质是二项式系数在几何上的排列。
2 基本结构与规律
2.1 基本写法
第0行：1
第1行：1 1
第2行：1 2 1
第3行：1 3 3 1
第4行：1 4 6 4 1
……
2.2 核心规律
每行首尾都是 1
中间数 = 它肩上两个数之和
\(
C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k
\)
第 \(n\) 行有 \(n+1\) 个数
第 \(n\) 行第 \(k\) 个数（从0开始）：
\(
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\)
3 重要性质（必背）
对称性
\(
C_n^k = C_n^{n-k}
\)
第 \(n\) 行所有数之和
\(
C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n
\)
奇数行中间最大，偶数行中间两个最大
第 \(n\) 行对应 \((a+b)^n\) 展开式的系数
4 与二项式定理的关系
\(
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k
\)
系数就是杨辉三角第 \(n\) 行。
5 典型例题（从基础到中考/高考难度）
例1：基础写行
写出杨辉三角第6行。
解：
第0行：1
第1行：1 1
第2行：1 2 1
第3行：1 3 3 1
第4行：1 4 6 4 1
第5行：1 5 10 10 5 1
第6行：1 6 15 20 15 6 1
例2：求某一行的和
求杨辉三角第8行所有数之和。
解：
第 \(n\) 行和 = \(2^n\)
\(
2^8 = 256
\)
例3：求指定位置的数
求杨辉三角第7行第3个数（从0开始数）。
解：
\(
C_7^3 = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35
\)
例4：对称性应用
已知 \(C_{10}^3 = C_{10}^x\)，求 \(x\)。
解：
\(
C_n^k = C_n^{n-k} \Rightarrow x = 10-3=7
\)
例5：二项式展开系数
求 \((x+1)^5\) 展开式系数。
解：对应第5行：
1 5 10 10 5 1
\(
(x+1)^5 = x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1
\)
例6：组合数递推（中考常考）
证明：
\(
C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k
\)
证明：
\(
C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k
= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}
= \frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k
\)
例7：求某一行最大数
求第9行最大数。
解：
第9行共10个数，中间两个最大：
\(
C_9^4 = C_9^5 = 126
\)
例8：求和综合（高中）
计算：
\(
C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5
\)
解：
\(
= 2^5 = 32
\)
例9：实际组合应用题
从6人中选3人，有多少种选法？
解：
\(
C_6^3 = 20
\)
例10：拓展：斜行和 = 斐波那契数列
杨辉三角沿斜线相加：
1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 1+3+1=5, 1+4+3=8…
得到：1,1,2,3,5,8,13,…（斐波那契）